Александр Чайковский родился в 1946 году в Москве в семье музыкантов. Его отец – выпускник Московской консерватории, в 1960–70-х годах – директор Московского академического музыкального театра имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко; дядя – выдающийся советский композитор Борис Чайковский.
Александр Чайковский окончил Центральную музыкальную школу при Московской консерватории (класс фортепиано Генриха Нейгауза и Льва Наумова) и консерваторию по специальностям «фортепиано» (класс профессора Льва Наумова) и «композиция» (класс профессора Тихона Хренникова, у которого затем продолжил обучение в аспирантуре).
Среди сочинений Чайковского – 14 опер, в том числе «Один день Ивана Денисовича» по повести А. Солженицына, «Легенда о граде Ельце, деве Марии и Тамерлане», «Альтист Данилов» по роману В. Орлова, «Ермак»; камерные оперы «Царь Никита и его сорок дочерей», «Мотя и Савелий», «Король шахмат»; для детей – «Р. В. С.», «Второе апреля», «Верность», мюзикл «Жизнь и необыкновенные приключения Оливера Твиста»; оперетты; три балета («Ревизор», «Броненосец Потемкин», «Дама пик»); семь симфоний (две последние написаны в 2020 году) и другие партитуры для симфонического оркестра; оратории «К солнцу» на стихи Ф. Тютчева, «От имени земного шара» на стихи И. Сельвинского, «В душе моей» на стихи В. Высоцкого, «Русский реквием» для солистов, хора и оркестра, «Государево дело» (к 400-летию Дома Романовых); 12 концертов для солирующих инструментов с оркестром (фортепиано, скрипки, альта, виолончели, контрабаса, фагота и др.); струнные квартеты, фортепианные трио, фортепианный квинтет, хоровые и вокальные произведения, музыка к теле- и радиоспектаклям, кинофильмам, театральным постановкам.
Произведения Александра Чайковского исполняли оркестры под управлением Мариса Янсонса, Валерия Гергиева, Владимира Федосеева, Михаила Плетнёва, Юрия Башмета, Саулюса Сондецкиса,Александра Дмитриева, Владимира Зивы, Александра Сладковского; солисты Ефим Бронфман, Александр Слободяник, Алексей Гориболь, Виктор Третьяков, Михаил Гантварг, Юрий Башмет, Давид Герингас, Борис Андрианов, «Вермеер-квартет»,Trio Fontenay, «Терем-квартет», многие другие прославленные исполнители и коллективы.
Его сценические сочинения ставились в Мариинском театре, Камерном музыкальном театре имени Б. А. Покровского (ныне Камерная сцена Большого театра), Детском музыкальном театре имени Н. И. Сац, Московском театре оперетты, Пермском и Красноярском театрах оперы и балета, Театре музыкальной комедии Санкт-Петербурга, Театре оперы и балета в Братиславе и др.
Александр Чайковский – лауреат международного композиторского конкурса на Холлибушском фестивале в Нью-Джерси (США, 1985, I премия), композитор-резидент и участник многочисленных фестивалей в России и за рубежом. С 1977 года ведет класс композиции в Московской консерватории (профессор, с 1997 года – заведующий кафедрой сочинения композиторского факультета). В 2001–2002 гг. – приглашенный профессор Санкт-Петербургской консерватории, в 2004–2008 гг. – ректор СПбГК.
Председатель и член жюри композиторских и исполнительских конкурсов. В 2016 и 2020 годах был председателем жюри Всероссийского музыкального конкурса по специальности «орган». В 1993–2002 гг. – советник по репертуару Мариинского театра. С 2003 года – художественный руководитель Московской государственной академической филармонии.
Александр Чайковский уделяет много внимания общественной деятельности. С 1973 года – член Союза композиторов СССР. В 1985–1990 гг. был секретарем Союза композиторов СССР по работе с творческой молодежью. Входил в Секретариат Союза композиторов России. В настоящее время – Почетный Президент СКР. Вице-президент РАО.
Народный артист России (2005). Лауреат Премии Правительства РФ за оперу «Легенда о граде Ельце» (2016), Премии Москвы в области литературы и искусства (2011), Премии имени Д. Д. Шостаковича Союза композиторов России (2011). Награжден орденом Дружбы (2016), Почетной памятной медалью «Тихон Хренников – 100 лет со дня рождения», медалью «За достижения в искусстве» Социалистической Республики Вьетнам (2014). Трижды удостоен премии газеты «Музыкальное обозрение» в номинации «Композитор года».
