Александр Миминошвили родился в 1985 году в Ставропольском крае. В 2011 году окончил Российскую академию театрального искусства (РАТИ-ГИТИС, факультет музыкального театра, класс Татьяны Башкировой). С 2009 года пел на сцене Московского музыкального театра «Геликон-опера», где в его репертуар вошли партии Фигаро («Свадьба Фигаро» Моцарта), Анджело («Запрет на любовь» Вагнера), Ренато («Бал-маскарад» Верди), Квартального («Леди Макбет Мценского уезда» Шостаковича), Данкайро («Кармен» Бизе) и другие.
С 2012 года – приглашенный солист Большого театра России, на сцене которого исполнял партии Папагено, Фигаро («Волшебная флейта», «Свадьба Фигаро» Моцарта), Шонара («Богема» Пуччини), Кота («Дитя и волшебство» Равеля), Данкайро («Кармен»), Дональда («Билли Бадд» Бриттена), Дона Карлоса («Каменный гость» Даргомыжского), Максимилиана/Капитана («Кандид» Бернстайна, театрализованное концертное исполнение),
Дона Альваро («Путешествие в Реймс» Россини), Энея («Дидона и Эней» Пёрселла). Участник премьеры новой постановки оперы «Так поступают все женщины» Моцарта (Гульельмо) на Новой сцене ГАБТа (2014, режиссер – Флорис Виссер).
Принимал участие в спектаклях Музыкального театра имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко («Слепые» Леры Ауэрбах, «Песни у колодца» Елены Лангер); был участником летней академии фестиваля в Экс-ан-Провансе.
Сотрудничал с известными дирижерами, такими как Владимир Спиваков, Стефано Монтанари, Туган Сохиев, Владимир Понькин, Евгений Бражник, Василий Синайский.
Среди важнейших событий последних сезонов – «Эрисмена» Франческо Кавалли (Эриманф) на музыкальном фестивале в Экс-ан-Провансе, в Королевской опере Версаля и Большом театре Люксембурга с ансамблем Cappella Mediterranea под управлением Леонардо Гарсии Аларкона; «Свадьба Фигаро» (главная роль) в Опере Цюриха. В числе ангажементов сезона 2021/22 – опера «Заколдованный дворец» Луиджи Росси (Мандрикардо) с ансамблем Cappella Mediterranea под управлением Леонардо Гарсии Аларкона в Национальной опере Лотарингии в Нанси, Королевской опере Версаля и Опере Дижона, а также концертное исполнение оперы Франческо Сакрати «Мнимая сумасшедшая» в зале Консертгебау (Амстердам).
