Георгий Екимов родился в семье оперного певца, солиста Музыкального театра имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко Леонида Екимова. Проходил военную службу в ансамбле Ракетных войск стратегического назначения.Окончил Академическое музыкальное училище при Московской консерватории (класс Алексея Мочалова) и Российскую академию музыки имени Гнесиных (класс доцента Леонида Бомштейна). Участвовал в мастер-классах Евгения Нестеренко, Владимира Чернова, Рамона де Андреаса, Эндрю Лоуренс-Кинга, Анны Скибински и Ричарда Барретта. Стажировался на академиях молодых оперных певцов в Италии (имени Россини в Пезаро), Швейцарии и Китае.
В 2015–2016 годах завоевал Гран-при московского конкурса «Соловьиная роща» (в 2017 году был приглашен в жюри этого конкурса), I премию Московского международного фестиваля славянской музыки и III премию Международного конкурса оперных певцов в Праге (Vissi D'Arte).
С 2017 года – солист театра «Геликон-опера». В репертуаре певца – более 20 партий, в том числе в операх «Трубадур», «Бал-маскарад», «Травиата», «Аида»и «Набукко» Верди, «Тоска» и «Турандот» Пуччини, «Служанка-госпожа» Перголези, «Волшебная флейта» Моцарта, «Севильский цирюльник» Россини, «Борис Годунов» Мусоргского, «Пиковая дама», «Иоланта» и «Мазепа» Чайковского, «Садко» Римского-Корсакова, «Каменный гость» Даргомыжского, «Соловей» Стравинского, «Диалоги кармелиток» Пуленка, «Повесть о настоящем человеке» Прокофьева, «Царица» Тухманова и «Чаадский» Маноцкова, оперетте «Летучая мышь» И. Штрауса и «Кофейной кантате» И. С. Баха.
В 2019 году выступил в роли Базилио («Севильский цирюльник» Россини) во Дворце искусств Королевы Софии в Валенсии (Испания). На сцене венского Театра ан дер Вин спел партии Бертрана и Орлика в концертных версиях опер «Иоланта» и «Мазепа» Чайковского. В 2022 году дебютировал в роли Лорда Сиднея («Путешествие в Реймс») на Россиниевском фестивале в Пезаро.
С 2021 года – приглашенный солист Московского академического Музыкального театра имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко, где исполнял роль Ризничего («Тоска» Пуччини). С 2023 года – приглашенный солист Нижегородского государственного академического театра оперы и балета имени А. С. Пушкина.
Принимал участие в концертах в Москве (в том числе в МКЗ «Зарядье»), Монреале (Канада) и Валенсии (Испания). Сотрудничал с Новосибирским академическим симфоническим оркестром, Национальным академическим оркестром народных инструментов России имени Н. П. Осипова и Академическим оркестром русских народных инструментов имени Н. Н. Некрасова. Сотрудничал с известными дирижерами, среди которых Александр Рудин, Михаил Татарников, Феликс Коробов, Эндрю Лоуренс-Кинг, Ариф Дадашев и другие.
