Александр Мурашов родился в Москве. Окончил Государственный музыкальный колледж имени Гнесиных и Российскую академию музыки имени Гнесиных (класс профессора Ирины Долженко).
Удостоен диплома Международного конкурса молодых оперных певцов Елены Образцовой в Санкт-Петербурге, Гран-при Московского фестиваля студенческого творчества «Фестос» и специального приза Международного оперного конкурса (Competizione dell’Opera) в Линце (2013).
В 2014–2016 гг. был солистом оперной студии Государственного театра Ольденбурга (Германия). С 2017 года – солист Красноярского государственного театра оперы и балета, приглашенный солист Большого театра России.
В репертуаре певца – партии в операх «Свадьба Фигаро» Моцарта (Дон Базилио), «Дочь полка» Доницетти (Тонио), «Медея» Керубини (Ясон), «Трубадур» Верди (Манрико), «Фальстаф» Верди (Бардольфо), «Кармен» Бизе (Хозе), «Манон Леско» Пуччини (Эдмондо), «Кристина, королева Швеции» Форони (Эрик), «Евгений Онегин» Чайковского (Ленский), «Русалка» Даргомыжского (Князь), «Рафаэль» Аренского (Бродячий певец), «Кавказский пленник» Кюи (Пленник), «Идиот» Вайнберга (Иволгин), «Питер Пэн» Рубцова (Майкл, Питер) и других.
