Алексей Мельников родился в Москве в 1990 году. Первоначальное музыкальное образование получил в Московской средней специальной музыкальной школе имени Гнесиных (класс Татьяны Шкловской). Принимал участие во многих национальных и международных юношеских музыкальных состязаниях, в том числе имени Карла Черни в Праге, где был удостоен II премии.
В 2008 году продолжил обучение в Московской государственной консерватории в классе профессора Сергея Доренского, занимался также под руководством его ассистентов – Николая Луганского, Павла Нерсесьяна и Андрея Писарева. В студенческие годы стал лауреатом международных конкурсов памяти Веры Лотар-Шевченко в Новосибирске (II премия), в Канту (Италия, I премия), Сан-Марино (I премия, специальные призы зрительских симпатий, критиков и оркестра) и Хамамацу (Япония, III премия).
Выступал с оркестрами Белгородской и Томской филармоний, Камерным оркестром филармонии Великого Новгорода, Камерным оркестром «Виртуозы Праги», Филармоническим оркестром Бакэу (Румыния), Симфоническим оркестром Республики Сан-Марино, Токийским симфоническим оркестром и другими коллективами. Сольные концерты музыканта проходили в городах России, США, Германии, Италии, Франции, Бельгии, Японии, в том числе в Большом зале Московской консерватории, залах Корто в Париже, Бунка Кайкан в Токио, дворце Жофин в Праге, театре Ла Фениче в Венеции. Пианист принимал участие в международных фестивалях в Италии и Франции, выступал на Фестивале Генриха Нейгауза и Фестивале романтической музыки в Москве.
В 2017 году Алексей Мельников стал победителем II Манхэттенского международного музыкального конкурса в Нью-Йорке и выступил на сцене знаменитого Карнеги-холла. В том же году записал сольный альбом с музыкой Бетховена и Листа для фирмы ACOUSENCE Records. В июне 2019 года завоевал III премию и бронзовую медаль XVI Международного конкурса имени П. И. Чайковского.
